初中数学相似三角形(平面几何)做题笔记

平行相似

如图1中的(1),$AB∥CD$,则$△ABO∽△DCO$(“8”形)
如图1中的(2),$AB∥CD$,则$△OAB∽△OCD$(“A”形)
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非平行的相似情况

如图2中的(1), $∠A$为公共角,可证明另一角相等或夹边分别成比例即可相似(斜”A”形)
如图2中的(2), $∠A​$为公共角,可证明另一角相等或夹边分别成比例即可相似(斜”A”形)
如图2中的(3), $∠AOB$与$∠COD$为对顶角,可证明另一角相等或夹边分别成比例即可相似(斜”8”形)
如图2中的(4), $∠BAC$与$∠DAE$为旋转对应角,可证明另一角相等或夹边分别成比例即可相似(旋转形)
如图2中的(5), $∠A$为公共角,可证明另一角相等或夹边分别成比例即可相似(飞机形)
如图2中的(6), $∠D=∠C$, 则${AB}^2=AD \cdot BC$(飞机形)
如图2中的(7), $∠CAB=∠BAD$, 则${AB}^2=AD \cdot AC$(旋转形)
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构造平行线

如图3中的(1), $E$是$AC$中点,$B$是$DC$中点,求$\frac{AO}{OB}$

​ 解:过$B$点作$BF∥AC$交$DE$与$F$,然后可得$△FOB∽△EOA$,根据中点相关知识可求证

如图3中的(2), $AE:EC=1:3$,$B$是$DC$中点,求$\frac{AO}{OB}$

​ 解:过$B$点作$BF∥AC$交$DE$与$F$,然后可得$△FOB∽△EOA$,根据中点、比例相关知识可求证

如图3中的(3), $O$是$△ABC$的重心,求$\frac{AO}{OF}$

​ 解:连接$DF$,可得$DF∥AC$,然后可得$△DOF∽△COA$,根据中点相关知识可求证

如图3中的(4), $D,E$是$BC$的三等分点,$F$是$AC$中点,求$BH:HG:GF$(此类问题大多数是某线段等于另两条线段长,然后再探究另两条线段的比例关系)

​ 解:连接$FE$,可得两个中位线(中点+三等分点=两个中位线,可以把三等分点分开看)。然后得到$△ACD∽△FCE,△BHD∽△BGE$,根据相关知识解答即可。
(基本原则,作平行线交酱油线(与已知线段与结论线段无关的一条),即可解决问题)
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矩形折叠

如图4,$ABCD$是矩形,$BD$为对角线,将$B$对折到$D$,折痕为$EF$

则$BO=OD,EO=FO,BF=ED,BE=DF,EF⊥BD$(四边形$EDFB$为菱形)
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圆与射影定理

如图5中的(1),$BD$为$⊙O$的直径,$AD⊥BC$,则形成了射影图
如图5中的(1),$AD,BD$为$⊙O$的切线,交$⊙O$于$A,B$,连接$AB,OD$,则$AB⊥CD$,则形成了两个相同的射影图
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一线三等角

如图6中的(1),$∠B=∠ACD=∠E$,则$△ABC∽△CDE$(外角知识可证明(基本图形))
如图6中的(2),$△ABC​$为等腰三角形,$∠B=∠EDF​$,则$△EBD∽△DCF​$(外角知识可证明)
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射影定理

如图7中的(2),$Rt△ABC$中$AD⊥BC$, 则有射影定理:
$AD^2=BD \cdot DC$
$AB^2=BC \cdot BD$
$AC^2=BC \cdot DC$
如图7中的(1)(3),若$∠BAC=∠BDA$或者$∠B=∠DAC$,则也能构成一部分射影定理图
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求最大值/最小值

设某边为$x$, 某边为$y$,求$x-y$的最大值

可以联系到求二次函数最大值,因为相似的比例式转化为乘积式可能产生$y=kx^2$
例题:典中点P49 t5

求$XX+XX$最小。

可以联系到轴对称(核心是三角形两边之和大于第三边和两点之间线段最短),作对称点即可做


圆中的相似问题

在圆中给出直径(半径)长和另一边长,求某一边长。(给出圆中线段求另一线段)

解:一般连接直径所对圆周角,然后算这条连边长,然后相似三角形建立关系求解
例题:典中点P49 t1,典中点P49 t2,典中点P49 t6,典中点P50 t9

圆中边、角的转化

边:
(1)半径转化:设半径为$r$,找等量关系求出$r$。
例题:典中点P50 t11
(2)矩形转化:构造矩形,用矩形对边相等转化边。
技巧:如果原题目中出现了1.垂直、2.垂径、3.切线,则可以考虑作垂直或者垂径。
例题:典中点P50 t8,典中点P50 t11
角:
(1)圆周角:同弧所对圆周角相等。
例题:典中点P49 t3,典中点P50 t10
(2)弦切角等于所夹弧的圆周角

圆中解题技巧

(1)垂径定理:作弦垂线、连弦中点,可构造中点或者垂直
例题:典中点P50 t11

圆中常见模型

(1)弦切角等于所夹弧的圆周角
(2)相交弦定理
(3)相交弦定理推论
(4)切割线定理
(5)割线定理


相似三角形高的性质

如图8(1),已知$DE,BC$长以及梯形$BCED$,可以求出$S△BOC,S△DOE$的大小(相似三角形高的比例等于相似比,所以图中$\frac{HO}{OG}=\frac{DE}{BC}$,然后可以通过梯形面积和上底下底求梯形高,即可解决),也可以求$S△DOB,S△OEC$, 并且这两个三角形面积是相等的(同底等高减$S△DOE$即可证明)
如图8(3),$D,E$是中点,则
$\frac{S△DOE}{S△BOC}=\frac{1}{4}$
$\frac{S△ADE}{S△ABC}=\frac{1}{4}$
$\frac{S△ADE}{S_{四边形}BDEC}=\frac{1}{3}$
$\frac{S△DOE}{S△ADE}=\frac{1}{3}$($DE$等底,$\frac{AI}{HO}=\frac13$)
如图8(2),$DE:BC=1:3$,则仍然有以上的规律,只是答案不同
如图8(4),$EFHG$为矩形,$AD$为$△ABC$的高,则可以利用相似解许多问题(比如$四边形EFHG$如何为正方形/$四边形EFHG$面积最大问题)
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相似三角形与反比例函数

如图9,$y=\frac kx​$在第一象限,$Rt△ABO​$中,$∠ABO=90°​$,则可以得到$S△AOD=S_{梯形CEBA}​$(根据反比例函数$k​$的几何含义和面积差相关知识可得$S△COF=S_{四边形FEBD}​$。)
此问题可以运用相似三角形求面积比/线段比。
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相似三角形解题步骤

明确题目
1、求证比例式相等/乘积式相等
1、直接得出(三点定型,此处可能定出一个不存在线段,但三点不共线,即可以构造三角形)
2、转化线段
3、求中间比、两次相似(乘积式可以等乘积带换(通常是一条边的平方))
4、构造相似三角形
2、求几个比例式的和(分母化为相同,转化线段)
1、通过相似三角形/转化线段使分母化为相同
2、找分子与分母的关系
3、求比例式的值/乘积式的值
1、根据已知值顺藤摸瓜,找相似


三线合一、垂直平分线的性质

连垂直平分线上的线段得到相等(有时是等边/等腰三角形,也能构造)

如图10(1).
例题:典中点P58 t5, 典中点P59 t11, 典中点P59 t12

有垂直/中点/角平分线,则有垂直平分线

例题:典中点P64 t6

有等腰/等边三角形可以作斜边的高,构造高和角平分线

例题:典中点P64 t6

等腰直角三角形底角为$45°$,作斜边的高形成两个等腰直角三角形

例题:典中点P62 t5


角平分线的性质

角平分线+平行线=等腰三角形(构造等腰1)

如图11(1).这个公式还能反过来用,比如已知平行和等腰求角平分线,已知角平分线和等腰求平行等。这也是证明切线的常用定理。
例题:典中点P61 t4

角平分线+角两边上的任意一个垂直(构造相等/全等)

如图11(2).作另一个垂直,则这两条垂线长度相同,且形成两个全等三角形$△APO≌△BPO$

角平分线+平分线上的任意一个垂直(构造等腰2/全等)

如图11(3).作另一个垂直,则这两条垂线长度相同,且形成两个全等三角形$△APO≌△BPO$,且$△AOB$等腰

截取线段(构造全等)

如图11(4).在$OB$上截取$OB=OA$,则形成两个全等三角形$△APO≌△BPO$

双垂直+角平分线=等腰三角形(等腰)

本题无一致的模型,但注意到只要有了两个垂直+角平分线,就能通过倒角得到等腰三角形。

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三角函数的代换关系

1、$cosA=sinB, cosB=sinA$
2、$sin^2A+cos^2A=1, sin^2A+sin^2B=1$(构造完全平方式的诀窍)
3、$sinA=cosA \cdot tanA$
4、$tanA \cdot tanB=1$
5、两个直角边关系$tan$
6、一个直角边,一个斜边关系$sin,cos$

三角函数解题方法(求三角函数)

直接求

转角

(1) 在圆中转到直径上
(2) 平行/垂直/等腰转角
(3) 相似转角

补角

基本方法是作垂直。
有6种基本方法,如图13.

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